MATLAB解决数学模型基础

黑暗过总有光明

一、矩阵的表示
　　MATLAB的强大功能在于能够处理向量或矩阵，这项功能是c语言，c++等不能比拟的。比如线性规划问题，多方程组求解问题。如果把方程直接用代码表示出来是十分麻烦的，如果运用线性代数中的思想，用矩阵的方式表示，不论求解速度，还是写代码速度将会大大提升。
１．矩阵的输入
　　本文列举了三种矩阵的输入，一般简单的矩阵，可直接安航方式输入每个元素；同行中的元素用逗号或空格符分隔，且空格数不限；不同的行的用分号。

1. T=[11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
   
2. 
   
3. T =
   
4. 
   
5.     11    12     1     2     3     4     5     6     7     8     9
   
6. 
   
7. 　X=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]%三行三列的矩阵
   
8. 
   
9. X =
   
10. 
    
11.      1     2     3
    
12.      4     5     6
    
13.      7     8     9
    
14. 
    
15. >> U=[]%空矩阵
    
16. 
    
17. U =
    
18. 
    
19.      []

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２.复数矩阵的输入
注意方法一中矩阵c中可以做数学运算

1. %方法一
   
2. a=1;b=2;
   
3. c=[1,3*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/5),a+7*b,3.9+1]
   
4. 
   
5. c =
   
6. 
   
7.    1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 2.0000i   2.0000 + 0.0000i
   
8.    0.5878 + 0.0000i  15.0000 + 0.0000i   4.9000 + 0.0000i
   
9. 　%方法二
   
10. R=[1 2 3;4 5 6];M=[7 8 9;10 11 12];
    
11. >> RM=R+i*M
    
12. 
    
13. RM =
    
14. 
    
15.    1.0000 + 7.0000i   2.0000 + 8.0000i   3.0000 + 9.0000i
    
16.    4.0000 +10.0000i   5.0000 +11.0000i   6.0000 +12.0000i

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3.字符矩阵的输入
sym：符号矩阵定义函数，定义一个符号或者表达式，长度没有限制，使用方法如下所示。
syms：符号定义函数，适用范围没有sym广
输入字符矩阵限定一些字符变量，再像定义普通矩阵一样输入字符矩阵。

1. >> m1=sym('class');
   
2. >> m2=sym('yello2');
   
3. >> m3=sym('green');
   
4. >> m123=[a,b,c;m1,m2,m3;1,2,3]
   
5. 
   
6. m123 =
   
7. 
   
8. [     a,      b,     c]
   
9. [ class, yello2, green]
   
10. [     1,      2,     3]
    
11. 
    
12. %sym还可以将数值型转化为符号型。
    
13. >> digit_ma=[0.3 sqrt(3) 3.1;exp(0.3) log(10) 23^.5];
    
14. >> syms_ma=sym(digit_ma)
    
15. 
    
16. syms_ma =
    
17. 
    
18. [                              3/10,                           3^(1/2),    31/10]
    
19. [ 3039611811401035/2251799813685248, 2592480341699211/1125899906842624, 23^(1/2)]
    
20. 
    
21. >> digit_ma
    
22. digit_ma =
    
23.     0.3000    1.7321    3.1000
    
24.     1.3499    2.3026    4.7958

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4.特殊矩阵的使用
有些特殊矩阵，可用matlab中的函数生成，例如：
全零阵函数zeros

1. a=zeros(3)
   
2. 
   
3. a =
   
4. 
   
5.      0     0     0
   
6.      0     0     0
   
7.      0     0     0
   
8. 
   
9. >> zeros(3,4)
   
10. 
    
11. ans =
    
12. 
    
13.      0     0     0     0
    
14.      0     0     0     0
    
15.      0     0     0     0

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还有单位矩阵函数eye，全1阵函数ones，均匀分布随即矩阵函数rand，正态分布随机矩阵函数randn，产生随即排列函数randperm，计算矩阵中元素个数numel等等，其用法大同小异，需要用时网上都有。


二、复杂数学函数的求解
1.函数求导

1. syms H C K x
   
2. T=(H/C)*((1/cos(x))+[1+(K-tan(x))^2]^(1/2));
   
3. dfdx=diff(T,x)
   
4. 
   
5. dfdx =
   
6. 
   
7. (H*(sin(x)/cos(x)^2 - ((tan(x)^2 + 1)*(K - tan(x)))/((K - tan(x))^2 + 1)^(1/2)))/C

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其中T函数为所需求导的函数，diff函数用于求解函数导数和矩阵差分的。

　　matlab在求解复杂数学函数方面功能是非常强大的，不论求导还是积分，还是更复杂的函数，均可用matlab中已经封装好的函数求解，在此，本文不再详细叙述，日常用到时可以网上搜集方法。

三、线性方程组的求解
１．齐次方程组通解

1. >> A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3];
   
2. >> format rat  %指定有理式格式
   
3. >> B=null(A,'r')%求解空间的有理基
   
4. 
   
5. B =
   
6. 
   
7.        2              5/3     
   
8.       -2             -4/3     
   
9.        1              0      
   
10.        0              1      
    
11. 
    
12. >> b=rref(A)%通过最简行得到基
    
13. 
    
14. b =
    
15. 
    
16.        1              0             -2             -5/3     
    
17.        0              1              2              4/3     
    
18.        0              0              0              0   

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2、非齐次方程组通解
matlab中求解该方程组的方法有很多，本文只列举了一种最简便地方法。

1. >> A=[1 1 -3 -1; 3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
   
2. >> b=[1 4 0]';
   
3. >> B=[A b];
   
4. >> C=rref(B)
   
5. C =
   
6.        1              0             -3/2            3/4            5/4     
   
7.        0              1             -3/2           -7/4           -1/4     
   
8.        0              0              0              0              0     
   

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四·、简单的分析
matlab还可以用于简单的数学分析工具，比如线性回归／拟合／绘图等。