matlab-浮点数误差

迷失缠绵情愫中

由于计算机中都是以二进制形式存储数据，当用十进制数进行计算时，就会存在十进制数二进制数的转换。但是某些十进制数转化为二进制数是一个无限位的小数，这时必须对该无限位小数进行截断计算机才能存储，那么此时就会产生误差，即浮点数误差。
例如十进制的0.9，在转化为二进制时是无限循环小数0.1110011001100110011...。此时须对该无限位小数进行截断才能保存在内存当中，截断后再转换回十进制时，0.9就变成了0.90000000000000002，这就是浮点数误差的产生过程。
由于浮点数误差的存在，当进行数值计算时就会出现一些不可避免的问题，最常见的就是判断两数相等时得到与预期相反的结果。
例：令 a = 0.1+0.2, b = 0.3, 判断 a==b 时，MATLAB 会返回0, 当执行 a-b 时，会发现结果不是精确等于0，而是一个非常小的数5.5511e-17。
或者在矩阵中寻找数的位置(也相当于是判断两数相等)。

1. %例
   
2. >> a = 0.1:0.1:0.5
   
3. 
   
4. a =
   
5. 
   
6.     0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000
   
7. 
   
8. >> find(a==0.3)
   
9. 
   
10. ans =
    
11. 
    
12.    Empty matrix: 1-by-0

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由于 a 向量中的 0.3 是由 0.1+0.1+0.1 计算得到，在计算过程中就产生了浮点数误差，这也导致在判断 a==0.3 时结果为false，所以 find(a==0.3) 返回一个空矩阵。
在进行数值计算判断两数相等时，最好不要直接判断，而是设立一个容差值，当两个浮点数的差的绝对值小于给定的容差值时，我们就认为这两个浮点数相等。
比如对于上面的例子：

1. >> a=0.1:0.1:0.5
   
2. 
   
3. a =
   
4. 
   
5.   0.1000   0.2000   0.3000   0.4000   0.5000
   
6. 
   
7. >> tol=eps(0.3)*10   %设立容差值，一般比这个点的浮点数误差高一到两个数量级即可。eps函数能够求得该点的浮点数误差值。
   
8. 
   
9. tol =
   
10. 
    
11.   5.5511e-15
    
12. 
    
13. >> find(abs(a-0.3)
    
14. ans =
    
15. 
    
16.   3

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