matlab-求解积分

迷失缠绵情愫中

有两种方法，符号求解和数值求解。

1. int(Symbolic Math Toolbox)
int 是符号积分求解器，调用形式简单，但是功能非常强大。

int 常用形式：

1. int(expr,var)   %不指定积分上下限，求解不定积分
   
2. int(expr,var,a,b)   %指定积分上下限，求解定积分

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例：求解不定积分

1. syms x
   
2. f = 5/((x-1)*(x-2)*(x-3))
   
3. F = int(f,x)

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例：求解定积分

1. syms x y;
   
2. f = x/(1 + y^2)
   
3. F = int(f,y,0,1)

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有时需要指定变量范围再进行求解：
例：求解不定积分

1. syms x a
   
2. assume(a ~= -1)
   
3. f = x^a;
   
4. F = int(f,x)

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但是大多情况下 int 都得不到解析解，这时候就可以采用数值积分。


2. quad/quadl/quadgk/quadv
MATLAB 在 R2012a 版本引入了 integral，完全可以替代 quad/quadl/quadv，并且在以后的高版本中，MATLAB 将移除这3个函数，所以如果你的 MATLAB 版本高于 R2012a 的话，建议直接使用 integral。
这4个函数都是数值积分函数，调用形式完全相同，只是分别适用于不同积分函数对象。其中：
quad 采用自适应 simpson 公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分；
quadl 采用自适应 Lobatto 数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分；
quadgk 采用自适应 Gauss-Kronrod 数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分法；
quadv 与 quad 算法相同，是 quad 的向量化版本，能够一次性计算多个积分。

应当注意，如果要采用数值积分计算一重积分的话，积分函数除了积分变量外，其它的参数都应当具有确定的数值。
调用形式以 quad 为例：

1. q = quad(fun,a,b)
   
2. q = quad(fun,a,b,tol)

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其中 fun 为函数句柄， a 为积分下限，b 为积分上限，tol 为积分精度，默认为1e-6。
例：计算

1. y = @(x)1./(x.^3-2*x-5);
   
2. q = quad(y,0,2)

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例：计算

1. y = @(x)exp(-x.^2);
   
2. q = quadgk(y,0,inf)

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3. integral
integral 是 R2012a 引进的一个函数，一元函数数值积分中功能最为强大，调用形式和 quad 基本一致：

1. q = integral(fun,xmin,xmax)
   
2. q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

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其中 fun 为函数句柄， xmin 为积分下限， xmax 为积分上限，Name 和 Value 是选项控制，包括误差控制、向量化积分设置等等。
integral  配合 fzero 可以求解无法显式表达的函数的定积分：
已知 ，求解

1. q = @(k,w)w.^2/10.*coth(30*k)-k;
   
2. v = @(w)fzero(@(k)q(k,w),1e3);   %利用fzero求解k,相当于显式表达k
   
3. integral(v,0,10,'ArrayValued',1)

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4. trapz
trapz 是基于梯形法则的离散点积分函数。 调用形式：

1. I = trapz(x,y)

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其中 x 和 y 分别是自变量和对应函数值，以 sin(x) 在 [0,pi] 积分为例：

1. x = linspace(0,pi,1e3);     %生成 [0,pi] 内的一系列离散点
   
2. y = sin(x);
   
3. I = trapz(x,y)

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